在中国，抚养权官司的判决书下达时间并没有具体的法律规定，因为案件的审理时间会受到多种因素的影响，包括案件的复杂程度、法院的工作量、是否需要补充证据、是否需要开庭审理等。以下是相关的法律程序和可能影响时间的因素。

相关法律程序：

1. 《中华人民共和国民事诉讼法》：第一百四十九条规定了简易程序的审理期限；第一百五十条规定了一般程序的审理期限；第一百六十一条规定了适用普通程序的案件审理期限。

详细解释：

根据《民事诉讼法》第一百四十九条的规定，适用简易程序的案件，法院应当自立案之日起三个月内审结。但是，抚养权案件通常涉及未成年人的权益保护，往往不属于简易程序范畴。

《民事诉讼法》第一百五十条规定，适用一般程序的案件，法院应当自立案之日起六个月内审结。如果情况特殊，需要延长审理期限的，由上级人民法院批准，可以适当延长。

《民事诉讼法》第一百六十一条规定，适用普通程序的案件，法院应当自立案之日起六个月内审结。有特殊情况需要延长的，由本院院长批准，可以延长六个月；还需要延长的，报请上级人民法院批准。

可能遇到的问题及相关法律程序：

1. 抚养权官司一般采用哪种审理程序？

   • 抚养权案件通常涉及未成年人的权益保护，可能会被视为较为复杂的案件，因此可能会适用一般程序或普通程序进行审理。

2. 如果案件审理时间超过了法定审理期限，该怎么办？

   • 如果案件审理超出了法定审理期限，当事人可以向上级法院申请监督，要求加快审理进度。同时，当事人也可以咨询律师，了解案件进展情况。

3. 如果对判决结果不满意，有什么途径可以申诉？

   • 如果当事人对一审判决结果不满意，可以在判决书送达之日起十五日内向上级人民法院提起上诉。根据《民事诉讼法》第一百六十四条的规定，上诉应当提交上诉状，并按照对方当事人的人数提出副本。

在处理抚养权官司的判决书下达时间问题时，当事人应当理解法律规定的审理期限是理想状态下的最长期限，实际审理时间可能会因案件具体情况而有所不同。在等待判决的过程中，当事人应当保持与法院的沟通，及时了解案件进展。如果有必要，可以寻求法律援助，以便更好地维护自己的合法权益。在任何情况下，都应当尊重法律程序，耐心等待法院的判决。